Pianosophy présente
Le Cœur du piano
un piano presque parfait
Question. Pourquoi est-il si difficile d'accorder un piano ?
Réponse. Les quintes ne bouclent pas, la corde n'est pas idéale, la cheville se souvient. Démonstration en neuf scènes.
La Promenade
Douze rayons sur le cercle des quintes : neuf scènes, les Ateliers, la Bibliothèque, les Notations. Aucun ordre n'est imposé ; le fil des quintes relie les rayons dans l'ordre des scènes, c'est un parcours possible.
solScène 2
Un piano presque parfait
Le cycle des quintes ne se referme pas : douze notes, et la blague de l'univers.
Ouverte
Entrer dans la scèneEn rouge, le fil ne se referme pas : la douzième quinte pure manque do de 23,46 cents. Les sommets du fil dérivent d'ailleurs un peu des pétales, qui sont tempérés.
Scène 2, en sol
Un piano presque parfait
Le cycle des quintes ne se referme pas : douze notes, et la blague de l'univers.
- Note
- do
- rapport
- 1/1
- Position
- 0 c
- Fréquence
- 261,63 Hz
- limma 90,225 c
- apotome 113,685 c
- demi-ton égal 100 c
- comma
- autres écarts
sur 12
À la douzième quinte, si♯ manque do de 23,46 cents : le comma pythagoricien.
RécitDéfinitions, énoncé, conséquence
Définition 1 (intervalle). L'oreille ne mesure pas des différences de fréquence, mais des rapports : de 220 à 440 Hz et de 440 à 880 Hz, elle entend le même intervalle. On compte ces rapports en cents : l'octave en vaut 1 200, le demi-ton du piano 100.
Définition 2 (octave, quinte). Multiplier une fréquence par 2 donne l'octave : « la même note », plus haut. Multiplier par 3/2 donne la quinte, 701,955 cents : la note la plus proche qui soit différente.
Expérience. Empilons des quintes, ramenons chaque note dans la même octave, et espérons retomber sur la note de départ.
Énoncé.
On n'y retombe jamais tout à fait. Mais à douze quintes, on passe très près : douze quintes font 8 423,46 cents, sept octaves 8 400. L'écart, 23,46 cents, est le comma pythagoricien : un quart de demi-ton, très audible.
Conséquence. Si près qu'on a décidé de faire comme si : douze notes. Le piano rétrécit chaque quinte de 1,955 cent ; le cercle se ferme exactement. C'est le prix d'un piano presque parfait.
La blague de l'univers
- 21/12
- 1,059463…
- 31/19
- 1,059526…
La racine douzième de 2 et la racine dix-neuvième de 3 diffèrent d'un dixième de cent. Le demi-ton du piano tient tout entier dans cette coïncidence : 219 = 524 288 et 312 = 531 441.
ManipulerLe protocole, les réglages, ce que calcule le simulateur
- Empilez les quintes une à une. Chaque note monte de 3/2 sur l'hélice ; son ombre tombe sur le cercle du plateau : c'est la même note, ramenée dans l'octave.
- À la douzième, si♯ ne retombe pas sur do : l'ombre s'arrête 7,04° plus loin, soit 23,46 cents. Écoutez les deux ensemble : ils battent.
- Tempérez. La quinte passe à 700 cents : chaque note descend d'un cheveu sur l'hélice, et le cercle se ferme.
- Regardez les arcs du cercle. Avec les douze notes de Pythagore, deux demi-tons alternent, le limma et l'apotome. Tempérer, c'est décréter qu'ils sont égaux.
Ce que calcule le simulateur, à chaque geste (do1 = 32,70 Hz, do4 = 261,63 Hz, la4 = 440 Hz) :
h_k = k·q, θ_k = 2π·{h_k}, q = log₂(3/2) ≈ 0,584 963 f_k = f_do1·2^h_k ; f̃_k = f_do4·(3/2)^k·2^−⌊h_k⌋Tempérer, c'est remplacer q par 7/12 :
q = 7/12, h₁₂ = 7, θ₁₂ = 0.hk est la hauteur sur l'hélice, en octaves au-dessus de do1 ; θk l'angle de l'ombre ; {·} la partie fractionnaire. Le son est une somme de six partiels, enveloppe douce.
Au fondDémonstrations, fractions continues, le second comma
Proposition 1.
Aucune pile de quintes pures ne retombe sur une pile d'octaves.
(3/2)^p ≠ 2^q (p, q ≥ 1)Démonstration. L'égalité équivaudrait à 3p = 2p+q. Or 3p est impair et 2p+q est pair.
Définition 3 (comma pythagoricien). L'excès de douze quintes sur sept octaves :
3¹²/2¹⁹ = 531 441/524 288 ≈ 1,013 643, soit 23,46 centsEn cents : 12 × 701,955 = 8 423,46 et 7 × 1 200 = 8 400.
Proposition 2 (pourquoi douze).
Approcher 3q par 2p, c'est approcher log₂ 3 par p/q. Les meilleures approximations sont les réduites de sa fraction continue.
log₂ 3 = 1,5849625… = [1 ; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5, …] 1, 2, 3/2, 8/5, 19/12, 65/41, 84/53, …La réduite p/q dit que q quintes valent presque p − q octaves. Essayez chaque chaîne sur le plateau :
| Réduite | quintes | octaves | écart | Essayer |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 1 | −498,04 c | |
| 3/2 | 2 | 1 | +203,91 c | |
| 8/5 | 5 | 3 | −90,22 c | |
| 19/12 | 12 | 7 | +23,46 c | |
| 65/41 | 41 | 24 | −19,84 c | |
| 84/53 | 53 | 31 | +3,62 c |
Remarque. Douze est le premier bon dénominateur : un écart de 23,46 cents pour douze notes. 41 améliore à peine (19,84 cents) ; 53 divise l'écart par plus de six (3,62 cents). C'est le suivant, connu de Jing Fang dès le Iᵉʳ siècle avant notre ère.
Proposition 3 (deux demi-tons).
Les douze notes de Pythagore découpent l'octave en sept limmas et cinq apotomes ; leur rapport est le comma.
λ = 256/243 (90,225 c), α = 2187/2048 (113,685 c), α/λ = 3¹²/2¹⁹Tempérer, c'est décréter λ = α : douze demi-tons de 100 cents.
Proposition 4 (la seconde coïncidence).
Quatre quintes, ramenées de deux octaves, donnent presque une tierce pure : à un comma syntonique près.
3⁴ = 81 ≈ 80 = 5·2⁴ ; (81/64)/(5/4) = 81/80 (21,51 c)La tierce de Pythagore 81/64 mesure 407,82 cents, la tierce pure 5/4 en mesure 386,31.
Corollaire (le tempérament égal). Avec des quintes de 700 cents, 1,955 cent trop étroites, l'égal annule exactement le comma pythagoricien. Le comma syntonique, il ne l'annule qu'en partie : sa tierce de 400 cents reste 13,69 cents au-dessus de la tierce pure, contre 21,51 pour celle de Pythagore.
Remarque (la gamme à sept notes). Les sept touches blanches forment une fenêtre de sept quintes consécutives, fa – do – sol – ré – la – mi – si ; les cinq noires prolongent la chaîne : fa♯, do♯, sol♯, ré♯, la♯.
Le tiroir de l'accordeur
Sur des sons aux partiels harmoniques, une quinte tempérée do4–sol4 bat à 3 × 261,626 − 2 × 391,995 ≈ 0,89 battement par seconde : la vitesse qu'on règle à l'oreille. Sur un vrai piano, l'inharmonicité des cordes déplace ces vitesses ; c'est l'objet de la scène 4.